Angewandte Mathematik
Hinweise für Lehrer
Angewandte Mathematik
Die Idee:
Die hier beschriebene e-learnig Sequenz (Was ist eine e-learning-Sequenz?) geht von der Idee aus, dass der Schüler diese selbst erstellt.
Mathematik ist, genauso wie Lesen, Kino im Kopf. Ohne, dass sich im Kopf etwas AKTIV abspielt, wird die Mathematik zum reinen Anwenden erlernter Fähigkeiten (z.B. ein Integral zu lösen) degradiert.
Es sind zwei Sachen, die Schüler aktiv tun sollen, sie sollen etwas eigenständig tun (also nicht nur kopieren oder abschreiben oder..), und sie sollen fragen (also zugeben, dass sie etwas nicht wissen, aber gerne wissen wollen).
Für das erste ist es demnach notwendig, keine „schöne vorgekaute“ Stoffverteilung zu präsentieren, sondern nur ein Gerüst über eine mögliche Entwicklung über einen längeren Zeitraum.
Der zweite Punkt ist schon etwas schwieriger. Zum einen muss in vielen Fällen erst die (vom mir gewünschte) Denkarbeit gestartet werden, zum anderen muss sich dieses Denken mir als Lehrer auch mitteilen.
Partnerarbeit hilft diese Punkte umzusetzen, denn die Schüler müssen miteinander reden, das Ergebnis in einem gemeinsam entwickelten Text vertreten.
Zwangsläufig ergeben sich dabei Fragen (am Beginn sind dies mehr die technischen Fragen, später werden es mehr mathematische sein), die es zu beantworten, zumindest zu stellen gilt. Der deutschen Sprache (Ausdruck, Gramantik ...) kommt dabei eine wichtige Rolle zu, da sie den Verständnisgrad gut widerspiegelt.(Wer stammelt, hat irgendetwas nicht verstanden). Dass die Qualität der Sprache in die Beurteilung mit eingeht, muss den Schülern (vermutlich öfters) vermittelt werden.
Erst wenn es den Schülern gelungen ist (und das dauert einige Zeit) miteinander über Mathematik zu reden (und zu schreiben) können sie beginnen Fragen zu stellen. Damit wird klar, dass die Partner möglichst gleiches Niveau haben sollten.
Die Aufgabe des Lehrers besteht nun darin, die Gedanken der Schüler auf die neuen Fragen zu lenken, ohne sie genau zu definieren. Von den Schülern gefundenen neue Fragen (und damit die neue Aufgabenstellungen) sollen vom Lehrer in Hinblick auf Machbarkeit beurteilt werden, und gegebenenfalls SANFT korrigiert werden. (Je weniger der Schüler von der Korrektur mitbekommt, desto besser ist es; es soll ja des Schüler Frage behandelt werden, nicht die des Lehrers.)
Am Beginn kann es durchaus vorkommen, dass sich die Schüler fragen: „Weist du, was der Lehrer von uns möchte?“, da sie bisher einen völlig anderen Mathematikunterricht genossen haben.
Wie wird dieses nun in der vorliegenden e-learning Sequenz umgesetzt?
Es handelt sich hier um Angewandte Mathematik eines 4. Jahrganges einer HTL Abteilung Elektronik. Behandelt werden Differentialgleichungen (im weiteren mit DGl abgekürzt). Gedauert hat die Umsetzung dieser Sequenz das ganze Wintersemester.
Die Schulmathematik beschränkte sich (mangels Möglichkeiten) auf einige analytische lösbare DGl . Anpassungen an die Anwendungen liefern jedoch schnell nur mehr numerisch lösbare DGl .
Durch die Verfügbarkeit des PC am Arbeitsplatz des Schülers können nun auch diese DGl unterrichtet werden. Dabei sind aber andere Inhalte als beim klassischen Ansatz gefragt. Einige dieser Themen (z.B. Warum sieht die DGl so aus, wie sie aussieht? Wie lässt sich das numerischen Ergebnis interpretieren?) eignen sich für den Unterricht an der Schule, andere sind in der Universität besser aufgehoben (z.B: Genauigkeit, Konvergenz der verwendeten Verfahren...).
Begonnen wird mit einer DGl , die jeder Schüler als eines der Newton’schen Gesetze kennt: Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
Stückweise wird die DGl durch Zusätze „verbessert“, ebenso die Programmierung von Mathematica.
Die Schüler entwickeln nicht nur das Werkzeug zu Erkundung der DGl selber, sie werden auch die DGl entwickeln, die zu jenen Fragenstellungen gehören, die sie sich selbst gestellt haben.
Jeder Teil hat den gleichen Ablauf:
In einer „Theorie“ Stunde werden die grundlegenden Neuerungen (z.B. Übergang von einer Dimension in zwei Dimensionen), sowie die Minimalanforderungen an die neue Aufgabe diskutiert. Wenn Teile von früheren Arbeiten verwendet werden sollen, so sollte zu diesem Zeitpunkt der Lehrer seine (mit wenig bis gar keinen Kommentaren versehene Version) den Schülern zu Verfügung stellen. (Nun weiß der Schüler, wie die vorige Aufgabe aussehen hätte können und hat eine Grundlage (falls er sie benötigt) zum weiteren Arbeiten. Das „Denken“ bleibt ihm jedoch nicht erspart, es fehlen die Kommentare!)
Im „Praxis“ Teil sollte zuerst die neue Aufgabe formuliert werden, meistens wird aber mit dem Programmieren begonnen, offensichtlich wollen die Schüler schnell „Ergebnisse“ sehen. Wichtig sind die Kommentare der Schüler, daraus lässt sich der Arbeitsfortschritt gut erkennen. Da es generell Aufgabe ist, neue Fragen zu finden, werden ab diesem Zeitpunkt auch eigene Wege beschritten.
Es hat sich als günstig erwiesen den täglichen Arbeitsfortschritt zu dokumentieren (speichern der eigenen Arbeiten am Ende der Stunde am Schul-Server).
Wie kommen nun die Schüler zu Noten?
24 von 24 Punkte auf eine traditionell bewertete Schularbeit sind ein „Sehr gut“, doch ist das ein wirklich ein „Sehr gut“?
In der Definition der Noten (nach LB-VO bzw. SCHU-B) kommen Begriffe wie „deutliche Eigenständigkeit“ und „Fähigkeit zur selbstständigen Anwendung“ sowie „neuartige Aufgaben“ vor.
Somit dürften 24 von 24 Punkte KEIN „Sehr gut“, es sein denn, man sieht reproduzierendes Wissen als eigenständig an.
Damit Schüler zu einem Sehr gut kommen können, müssen sie daher den Weg der Eigenständigkeit, der Selbstständigkeit und der neuartigen Aufgaben gehen. Da die Schüler dieses von vornherein nicht können, ist es auch Aufgabe des Lehrers ihnen das beizubringen.
Problemfall Schularbeit:
Im Rahmen dieses Schulversuches gehe ich einen anderen Weg.
Da beide Schüler das ganze Semester gemeinsam arbeiten (nur in Ausnahmefällen tauschen die Partner), werden sie es auch bei der Schularbeit tun. (Parterarbeiten sind in der BHS nichts ungewöhnliches; z.B. Diplomarbeiten werden im Team gemacht). Die Note auf die Schularbeit ist aber eine Individuelle. Durch „Nachbesprechung“ der Schularbeit in einem Vieraugen Gespräch mit dem Schüler (im Unterricht) lässt sich diese Individualisierung erreichen. (Neben der fachlichen Besprechung der Arbeit, lässt sich auch der Arbeitsanteil der einzelnen Gruppenmitglieder herausfinden. In dieser Situation sind die Schüler erstaunlich ehrlich.)
Warum Mathematica?
Im Grunde ist dieses Konzept mit jeder der heute am Markt befindlichen Softwarepakete zur Formelmanipulation umsetzbar. Es sollte das Paket verwendet werden, dass der Lehrer am besten beherrscht, da er neben der Fehlerbekämpfung auch die Umsetzbarkeit der von den Schülern selbst gefunden Fragen beurteilen muss.
Abschluss der Sequenz:
Da es sehr viele verschiedene Kräfte gibt (Planetenbewegung im Weltall, Schaukelbewegung eines Autos,...) gibt es auch sehr viele Möglichkeiten die Sequenz mit einem kleinen Projekt (mit freier „Kräftewahl“ abzuschließen .
Materialien:
Diese Sequenz sollte in folgender Reihenfolge mit den Schülern durchgearbeitet werden:
Richtungsfeld, senkrechter Wurf ohne Reibung, Schiefer Wurf ohne Reibung, schiefer Wurf mit Reibung, Gravitationsgesetz.
Zu jedem dieser Themen gibt es ein Word-Dokument, in dem neben der Aufgabenstellung auch mögliche Erweiterungen zu diesem Thema zu finden sind. Die dort angegebenen Zeitangaben sind als Minimalzeiten zu verstehen, da je nach Einsatz der Schüler sich die Zeiten, bedingt durch die individuellen Aufgabenstellungen, gravierend verlängern können. Das dazugehörende Mathematica file ist als Information für den Lehrer gedacht und sollte den Schülern (OHNE den Kommentaren) erst nach dem Ende der Unterrichtssequenz als eine der möglichen Lösungen gegeben werden.
Das gesamte Paket als zip-File zum Download: archiv.zip